Тест у g-класі

Перейти у g-клас

• Група 107
  Пройти тест на оцінку
• Група 112
  Пройти тест на оцінку

Перевести в іншу систему

• Системи числення.

  Система числення (або нумерація) – сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке невід'ємне число.

  До систем числення висуваються певні вимоги:

  • однозначного кодування невід'ємних чисел 0, 1,… з деякої обмеженої множини за скінченну кількість кроків;
  • можливість виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій;
  • виконання задачи нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів.

  Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв'язання зазначених задач і її використання на практиці.

  Розрізняють такі типи систем числення:

  • непозиційні;
  • позиційні;
  • змішані.

  Найпростішим та, напевне, найдавнішим способом запису натурального числа є зображення його за допомогою відповідної кількості паличок або рисочок.

  Таким способом можна користуватися для невеликих чисел.

  Згодом з'явилися більш складні системи числення. Вони ґрунтуються на кількісному підході до визначення числа, який для кодування тих чи інших кількостей застосовував особливі знаки — числа. Кожному такому знаку відповідає кількісний еквівалент. Наприклад, у так званій римській нумерації знаку V відповідає кількість елементів множини, яка дорівнювала 5.

  Кількість чисел, яку можна було одержати з допомогою непозиційного кодування (а саме до нього відносять перелічені вище способи), через його складність і відповідно велику кількість чисел, що потребували запам'ятовування, була обмежена кількома сотнями, і, крім того, щодо цих чисел досить важко було виконувати арифметичні й логічні операції. Тому в подальшому виникла потреба в більш ефективних системах числення, які б мали прості правила кодування чисел, та легко виконували б щодо них арифметичні й логічні операції.

  Такі системи чисел були створені і отримали назву позиційних. Більш докладно ці системи числення будуть розглянуті у наступних розділах.

• Непозиційні системи числення.

  I	1
  V	5
  X	10
  L	50
  C	100
  D	500
  M	1000

  Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій як цифри використовуються латинські букви (малюнок лiворуч).

  Інший приклад - eгейські цифри - система числення, що використовувалася мінойської та крито-мікенської цивілізаціями.

  Історично першими виникли непозиційні системи числення. Вони ґрунтуються на кількісному підході до визначення числа, який для кодування тих чи інших кількостей застосовував особливі знаки — числа. Кожному такому знаку відповідав кількісний еквівалент. Наприклад, у так званій римській нумерації знаку X відповідала кількість елементів множини, яка дорівнювала 10.

  У подальшому такими знаками-числами користувалися також і для одержання інших чисел. Так, якщо перед знаком X ставилась вертикальна риска, то отримували знак IX, який означав, що від десяти треба відняти одиницю і результат буде дорівнювати 9. Знаки, подібні X, називаються вузловими. Вони широко використовувалися в первісних непозиційних системах числення. Слід ще раз зазначити, що серед цих знаків не було такого, який би відповідав нулю. Це свідчить про те, що нуль у той час ще не був сформований як число.

  Кількість чисел, яку можна було одержати з допомогою непозиційного кодування, через його складність і відповідно велику кількість чисел, що потребували запам'ятовування, була обмежена кількома сотнями, і, крім того, щодо цих чисел досить важко було виконувати арифметичні й логічні операції. Тому в подальшому з розвитком науки виникла потреба в більш ефективних системах числення, які б мали прості правила кодування чисел, та легко виконували б щодо них арифметичні й логічні операції. Такі системи чисел були створені і отримали назву позиційних.

• Позиційні системи числення.

  Позиційна система числення (Позиційна нотація) — система числення, в якій значення кожного числового знака (цифри) в запису числа залежить від його позиції (розряду).

  Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу b, яке називається основою системи числення:

  Винахід позиційної системи числення, заснованої на помісному значенні цифр, приписують шумерам і вавилонцям. Її було розвинуто індусами.

  До числа таких систем належить сучасна Десяткова система числення (з основою b=10), виникнення якої пов'язують із лічбою на пальцях. У середньовічній Європі вона з'явилася через італійських купців, які у свою чергу запозичили її у арабських.

• Класифікація позиційних систем числення.

  З метою ефективного використання систем числення в теорії і на практиці важливо їх класифікувати.

  Однорідні системи. Їх також ще називають природними, або степеневими. Характерною ознакою таких є те, що вага розрядів в них змінюється згідно зі степеневим законом. До цих систем числення належать двійкова, десяткова, п'ятирічна і безліч подібних інших. За їх основи беруть числа 2, 10, 5 і т.д.

  Розроблення більш складних, ніж однорідні, позиційних систем числення, почалося в основному в другій половині 20-го століття після того, як з'явилася цифрова обчислювальна техніка. Такі системи називають неоднорідними. Вони використовувались здебільшого при побудові спеціалізованих обчислювачів, систем зв'язку та керування, кодуючих та декодуючих пристроїв з метою підвищення їх ефективності.

  Найпростішими неоднорідними системами числення є системи, в яких кількість елементів в усіх підмножинах, отриманих на попередньому кроці розбиття, буде однаковою. При цьому встановлюється функціональний зв'язок між номером кроку розбиття й числом підмножин у розбитті на цьому кроці.

  Ваги цифр, які належать до одного розряду числа, у цьому випадку рівні між собою, однак вони на відміну від однорідних систем числення змінюються від розряду до розряду не за степеневим законом, як це має місце для однорідних систем числення, а за більш складним. Числа для неоднорідних систем числення з такими обмеженнями мають, як і для однорідних, рівну довжину.

  Прикладом таких систем числення є факторіальні, а в більш загальному випадку системи зі змішаною основою, чи поліадичні.

• Запис чисел у позиційних системах числення.
  Позиційна система числення – система числення, в якій значення кожної цифри залежить від місця в послідовності цифр у записі числа. Для позиційних систем числення характерні наочність зображення чисел і відносна простота виконання операцій.

  У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції.

  Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу b (b>1), яке називається основою системи числення.

  Основа системи числення – число, яке означає, у скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього.

  Винахід позиційної системи числення, заснованої на помісному значенні цифр, приписують шумерам і вавилонцям. Її було розвинуто індусами і вона отримала неоціненні наслідки для історії людської цивілізації.

  Для запису чисел системи числення з основою до 36 включно як цифри використовують арабські цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) а потім букви латинського алфавіту (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При цьому, a = 10, b = 11 і т.д.

  За одночасної роботи із кількома системами числення для їх розрізнення основи систем зазвичай вказують нижнім індексом, який записується у десятковій системі:

  • 2045₁₀ — це число 2045 у десятковій системі числення;
  • 11111111101₂ — те ж число, але у двійковій системі;
  • 3775₈ — те ж число, але у вісімковій системі.
  • 7fd₁₆ — те ж число, але у шістнадцятковій системі.

  У деяких спеціальних галузях застосовуються особливі правила вказування основи. Наприклад, у програмуванні шістнадцяткова сиситема позначається:

  • у мові асемблера і записах загального роду, не прив'язаних до конкретної мови, буквою h (від hexadecimal) у кінці числа (синтаксис Intel) — 7fd (2045₁₀);
  • у Паскалі знаком $ на початку числа;
  • у Ci і багатьох інших мовах комбінацією 0x або 0X (від hexadecimal) на початку (двійкова - 0b, вісімкова - 0o).

  Позиційна система числення має такі властивості:

  1. Основа системи числення у ній самій завжди записується як 10. Наприклад, у двійковій системі 10₂ означає число 2 (у звичній нам десятковій системі).
  2. Кількість знаків. Для запису числа x у системі числення з основою b потрібно [log _b(x)] + 1 цифр.
  3. Порівняння. Порівняємо два числа 516 і 561. Для цього зліва направо порівнюємо цифри, які стоять на однакових позиціях:
     • 5 = 5 — результат порівняння не визначений;
     • 1 < 6 — перше число менше незалежно від цифр, що залишились.
  4. Додавання. Додамо 516 і 221. Для цього справа наліво додаємо цифри, що стоять на однакових позиціях:
     • 6 + 1 = 7
     • 1 + 2 = 3
     • 5 + 2 = 7
     • загалом — 737.

  Таким самим чином можна додавати числа довільної довжини.

  Згорнута і розгорнута форми.

  Запис числа 2022 називається згорнутою формою запису числа. У загальному випадку, для довільного числа (цілого чи дробового - при цьому ціла частина відділяється від дробової комою, як ми звикли записувати, чи крапкою, як це відбувається в комп’ютерному системах), вона має вигляд:

  a_q = (a_n-1a_n-2…a1a0,a-1a_-2…a_-m)_q

  У цьому загальному вигляді згорнутої форми запису числа:

  • a_q - вхідне число;
  • q - основа системи числення;
  • ai - цифри, які належать алфавіту даної системи числення;
  • n - кількість розрядів цілої частини числа (нумерація розрядів починається з 0 справа наліво);
  • m - кількість розрядів дробової частини числа (нумерація розрядів починається з 1 зліва направо і записується зі знаком мінус).

  Нижні індекси визначають місце розташування цифри в числі (розряд):

  • додатні значення індексів - для цілої частини числа;
  • від’ємні значення індексів - для дробової частини числа.

  Саме згорнутою формою запису числа ми і користуємося в повсякденному житті.

  Десяткове число 2023 можна записати й у іншій формі

  2023 = 2 · 10³ + 0 · 10² + 2 · 10¹ + 3 · 10⁰

  яка називається розгорнутою формою запису числа. Із цієї форми запису числа видно, що остання цифра 3 - це залишок від ділення вхідного числа на 10, передостаннє - 2 - це залишок від ділення вхідного числа зменшенного на 3 · 10⁰ і т.д.

  .

  Щоб визначити число, записане в позиційній системі числення, необхідно значення кожної цифри помножити на основу системи числення в степені, що дорівнює розряду цієї цифри, і додати отримані значення.

  Інший спосіб подання десяткового числа 2023 (не використовуючи операції піднесення до степеня) - за схемою Горнера:

  2023 = ((2 · 10 + 0) · 10 + 2) · 10 + 3

  Якщо число 2023 позначити як a₃a₂a₁a₀, де a₃, a₂, a₁ і a₀ - окремі цифри, які розташовані в третьому, другому, першому і нульовому розрядах відповідно, і записати в системі числення q, то запис числа за схемою Горнера набуде загального вигляду:

  a₃a₂a₁a₀ = ((a₃ · q + a₂) · q + a₁) · q + a₀

  Підсумовуючи, для запису довільного числа в позиційній системі числення з основою q розгорнута форма запису числа матиме наступний вигляд:

  a_q = ±(a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 + … + a₀q⁰ + a_-1^q-1 + a_-2q^-2 + … + a_-mq^-m)

  Правило перетворення чисел.

  Визначимо правило перетворення чисел з десяткової системи числення в систему числення з основою q.

  Для перетворення із десяткової системи числення у систему з основою q, необхідно ділити число націло на q, відкидати залишок на кожному кроці, доки не отримаємо 0, а потім записати знайдені залишки у зворотному порядку.

  Переведемо число 149 у трійкове діленням числа націло на основу трійкової системи:

  Таким чином маємо:

  149₁₀ = 12112₃

  Перевірка:

  2 + 3*( 1 + 3*( 1 + 3*( 2 + 3*( 1 ))))

  ---

• Змішані системи числення.

  Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою b і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, {b_k}^∞_k=0 і кожне число x представляється як лінійна комбінація:

  

  Якщо b_k = b^k для деякого b, то змішана система збігається з b-основною системою числення.

  Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню d * 24*60*60 + h*60*60 + m * 60 + s секунд.

  Система числення Фібоначчі. Представлення засновується на числах Фібоначчі:

  

  ,

  при цьому у записі f_nf_n-1...f₀ не зустрічаються дві одиниці підряд.

  Факторіальна система числення. Представлення використовує факторіал натуральних чисел:

  Біноміальна система числення. Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:

  

  Система числення майя. Майя використовували двадцяткову систему числення за одним винятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів. Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу.

• Тест.